电磁学(2)——静电场环路定理,电势

电磁学(2)——静电场环路定理,电势

学习阶段:大学物理。

前置知识:静电场基础知识、力学、多元微积分。

tetradecane:多元微积分——环量、旋度与格林、斯托克斯公式,通量、散度与高斯公式zhuanlan.zhihu.com图标tetradecane:电磁场(1)——静电场高斯定理zhuanlan.zhihu.com图标


静电场高斯定理总结了静电场通量的特性,那么静电场的环量有没有什么特性呢?我们从简单的情况开始研究一下。

1. 点电荷的静电场

最简单的静电场是由一个点电荷产生的静电场。环量对应着做功,我们让试验电荷在这个静电场里面跑一跑,看看静电力做功的情况。

点电荷的静电场1

试验电荷沿着某条路径移动,把路径切成极小的小段,取极限时,每一段可视为直线向量 d\vec{l} . d\vec{l} 和电场力 \vec{F}=\vec{E}q 可能是有夹角的,因此我们把 d\vec{l}\vec{E} 方向上进行正交分解,得到 d\vec{l}=d\vec{l}_\parallel+d\vec{l}_\bot ,试验电荷在垂直方向 d\vec{l}_\bot 上运动时,电场力不做功。因此,在这一段微元上,电场力做功 dW=Eq|d\vec{l}_\parallel|=q\vec{E}\cdot d\vec{l} .

点电荷的静电场2

观察整个过程,试验电荷走阶梯形路径,我们把做功路径(紫色)和不做功路径(灰色)合并起来,就能等效于先绕着场源电荷转到目标方向,然后沿着电场方向移动到目标点。注意,我没有规定这里路径的形状,也就是说,只要试验电荷从A地移动到B地,无论走的是什么路径,电场力做功都不变,都可以化为上图灰色+紫色路径的形式。

上述结论用曲线积分表达为 \int_Lq\vec{E}\cdot d\vec{l} 是定值,其中 L 是任意从A地到B地的路径。这可以等价地表述为沿任意闭合路径运动一周,电场力做功为0,即 \oint q\vec{E}\cdot d\vec{l}=0 . 由于试验电荷的电量 q 是定值,我们最终得到 \oint\vec{E}\cdot d\vec{l}=0 ,而该等式的左边,恰是静电场的环量。

2. 静电场环路定理

一个点电荷产生的静电场有上述做功与路径无关的性质,那么任意静电场都有该性质,因为任意静电场都可以通过微积分化归为无数点电荷的叠加。于是,我们得到了

静电场环路定理:静电场电场强度沿闭合回路的环量恒为0,即 \oint\vec{E}\cdot d\vec{l}=0 .

静电场环路定理的微分形式为 \nabla\times\vec{E}=0 ,其中 \nabla\times 是旋度算符。

也就是说,静电场是无旋场/保守场/有势场,可以应用势与势能的概念。

【势能:即位置能,能量只与物体间的相对位置有关。“势”表示有势力,有潜在的能量。】

【静电场是有源无旋场,而不含电荷的局部静电场是无源无旋场/调和场。】

3. 电势能、电势、电势差

类比于重力势能,我们定义电势能。首先,选取静电场中任一点 O 为零势能点,对于处于该静电场中 A 点的点电荷,把它移动到零势能点的过程中,电场力做的功称为该点电荷原来具有的电势能 W=\int_A^Oq\vec{E}\cdot d\vec{l} . 显然,相同情况下,电量越大的电荷的电势能越大。

下图是一个关于电势能的简单例子:

电势能例子

把电势能除以电量 q 可得到 \frac{W}{q}=\int_A^O\vec{E}\cdot d\vec{l} ,这是一个与电量无关的,只与电场分布和与零势能点有关的量,我们定义 \varphi_A=\int_A^O\vec{E}\cdot d\vec{l} 为A点的电势,单位为伏(特)(符号V,Volt), \text{V}=\text{J}/\text{C} . 电势是标量,遵循标量叠加原理。

【在重力场中,重力势能为 E_p=mgh ,那么重力势为 gh ,不过该量较少单独提到。】

【把伏特化为基本单位: \text{V}=\text{J}/\text{C}=\text{N}\cdot\text{m}/(\text{A}\cdot\text{s})=\text{kg}\cdot\text{m}^2/(\text{A}\cdot\text{s}^3)

对于静电场中的两点,它们电势的差值与零势能点的选取无关,定义 U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B电势差/电压。电压描述的是A点比B点电势高多少, qU_{AB} 表示把电量为 q 的点电荷从A点移动到B点时,电场力做的功。

4. 电势场、等势面

对于一个确定的静电场,指定了零势能点之后,每一个坐标 (x,y,z) 都对应一个确定的电势 \varphi ,因此电势构成一个与静电场有关的数量场 \varphi(x,y,z) . 这个电势场与原电场有什么关联呢?

当一个电荷垂直于电场线移动时,电场力不做功,因此电势不变。在空间中把电势不变的点依次连成曲面,称为等势面。等势面处处电势相等,处处垂直于电场线。某些等势面示例:

部分情况的等势面示例

容易发现,场强垂直于等势面,也就是指向电势降低最快的方向,如下图所示:

电场指向电势下降最快的方向

也就是说,场强指向电势的负梯度方向, \vec{E}-\nabla\varphi 同向。

\nabla\varphi 的大小表示电势在梯度方向上的变化率,也就是 \frac{d\varphi}{dl} . 在足够小的区域内,静电场可以视为匀强电场,而且 \vec{E}\vec{l} 也同向,那么 Edl=-d\varphi,\quad E=-\frac{d\varphi}{dl} . 由此,我们得到了静电场与其电势场的微分关系:静电场等于其电势场的负梯度场,即 \vec{E}=-\nabla\varphi .

5. 零势能点的选取

理论上,任意一点都可以作为零势能点。

习惯上,取无穷远处或/和大地为零势能点。无穷远处能作为零势能点,是因为把正电荷从静电场中移动到无穷远处时,电势能才趋向于0;大地能作为零势能点,是因为大地可视为把地面和无穷远处等势地联结起来的导体。有时,无穷远处和大地可同时视为零势能点。


总结

静电场中的(不一定是闭合路径的)环量 \Gamma=\int_L\vec{E}\cdot d\vec{l} ,单位为 \text{N}\cdot\text{m}/\text{C} .

静电场环路定理:积分形式 \oint_L\vec{E}\cdot d\vec{l}=0 ,微分形式 \nabla\times\vec{E}=0 . 静电场是无旋场/保守场/有势场。

电势能 W=\int_A^Oq\vec{E}\cdot d\vec{l} ,单位为 \text{J} ,与零势能点有关。

电势 \varphi_A=\int_A^O\vec{E}\cdot d\vec{l} (电势与电场的积分关系),单位为 \text{V} ,与零势能点有关。遵循标量叠加。

电势差/电压 U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B=\int_A^B\vec{E}\cdot d\vec{l} ,单位为 \text{V} ,与零势能点无关。

电势场是数量场,其负梯度场是电场。电势与电场的微分关系: \vec{E}=-\nabla\varphi .

零势能点的选取:一般取无穷远处或/和大地为零势能点。

编辑于 2019-10-15