1+1=2?

这篇文章发表在《返朴》公众号上。

引言:这篇文章真的是讲你在幼儿园学的1+1=2,不需要任何数学背景也可以读,只需要你有对1+1=2的好奇心。但是我们的动机却是要介绍数学里面的范畴学的基本精神,所以有必要先简单提一下范畴学,不关心的读者可以直接跳过引言。


范畴学起源于代数拓扑,由Eilenberg和Maclane于上个世纪40年代提出。自从六十年代Grothendieck用范畴学的语言重建了代数几何基础以来,数学中就出现了用范畴学替代集合论作为数学的新基础的潮流。这个潮流不但在数学里面愈演愈烈,还在90年代被注入了新的强大动力:物理。 人们发现描述2维有理共形量子场论和任意维拓扑序的数学语言也是范畴学。当然这也没有什么奇怪的,了解范畴学的人都不会惊讶。因为范畴学带来的变革是如此底层,它从根本上改变了我们看待数学(甚至是其他学科)的基本范式。而对不了解范畴学的人,可能会对这句话有很大的抵触。这个也是正常的,没有真正了解范畴学,会很难想象范畴学是可能的,我也常常纳闷为什么这么不可思议的东西居然会被人创造出来。也许看完此文,你的抵触会稍稍减少一些。我认为范畴学是继牛顿的微积分革命之后,又一次语言的革命,其实范畴学本身就是一个新的微积分。她的力量体现在许多方面,比如:一个简单的范畴学的公式就可以完成一个复杂的量子场论的构造或同时计算无穷多量子场论的融合(fusion);很多复杂的物理和数学结构自然而然就是范畴学的;更重要的是,很多超越集合论的数学或物理事实只能在范畴学的意义下陈述和理解。仅仅是最后一条就告诉我们,有一个集合论之外的数学新大陆等我们去发现、去探索。现在还有更疯狂的猜测,那就是范畴学是理解多体量子纠缠和量子引力的基础。


范畴学的变革是如此底层,它会毫无疑问地在几乎所有科学领域发挥作用,包括逻辑学、数学、物理、计算机科学、语言学、社会学、经济学,等等。所以让更多数学以外的人了解它是有意义的。本文就抛砖引玉地讲讲,这个变革是如何的底层,底层到需要我们不断地回归,直到每一个人开始数学启蒙的那一刻。


1+1=2?

我相信我们每一个人的数学教育都是从1+1=2开始的,从那一刻开始,我们就开启了一场“去范畴化”的抽象数学之旅,而范畴学则是一场回归。

创造力的来源是天真 -- Alexander Grothendieck

我希望大家和我一起回到学龄前儿童的状态。只有这样你才能看清问题的本质。


1+1=2是一个很难理解的东西。也许你觉得没有什么困难,但是只有当你给一个从来没有听过1+1=2的学龄前儿童解释的时候,你才能明白它有多么困难。

第一个难点是:什么是”1″?

第二个难点是:什么是”+”?

第三个难点是:什么是”=”?

第四个难点是:什么是”2″?

什么是”1″?小朋友不知道什么是”1″ ,你知道吗?你见过1吗?通常情况下,为了让小朋友理解数字1,2,老师的教法是用实物,比如用带磁铁的小猪、小鸭、苹果、香蕉、等等,可以把它们吸到带金属的黑板上。真实可见的东西才是我们对存在的基本体验,其他都不太可靠。让我用符号 O 来表示苹果,J 来表示香蕉。


让我们把几个苹果放到一起,于是黑板上出现了如下公式:

O+O=OO, (1)

好吧。我们见过苹果,所以O没什么问题。但什么是“+”?什么是“=”呢?其实小朋友一般还可以接受(1),接受的办法就是忽略“+”。(1)不就是 “OO=OO”吗?理解“+”太难了,我先跳过。先来谈谈“=”,其实这个更难!“=”(等于)是一件很难理解的东西。在现实世界里我们基本没有见过两个完全一样的东西。“OO=OO”两边的苹果其实是不一样的。也许他们的颜色有些区别,或磁铁的吸力的差别,等等。那么”=“就很难理解了。在贴近生活的语言里,我们不说等于,我们说“一样“。那么左边的“OO” 和右边的“OO”在什么意义下是“一样”的呢?


请让讲一个让我震惊的故事。我第一次在深圳中学做报告的时候,我说我不知道什么是“一样”,请中学生为我这样一个“学龄前儿童”解释。然后有一位勇敢的同学上来,他分别从左边的OO和右边的OO 里面各拿出一个苹果,然后把这两个苹果放在一起,再把剩下的两个苹果放在一起,他说这个就是“一样”。事实上他给出了左边OO和右边OO的一个一一对应,可以用一个图来代表他的这个一一对应:

这个已经足够精彩了吧,但是精彩的还在后面。问题是你为什么要这么做?我们在学习生涯中就遇到很多的困惑,常常不清楚有些选择到底是有背后原理指导的,还是偶然的、随机的。其实孩子们是敏锐的。一定有看上去很“笨”的孩子会纳闷,为什么要这样?当时,这个同学解释完,我就问大家对这个“一样”的定义有何意见?然后就有很多学生对此发出质疑。首先这样定义是不是自然的,合理的?其次这样定义也不是唯一的,比如你还可以选择下面这个来定义“一样”:

说句老实话,我当时震惊了,我藏在后面的东西全被中学生自己发现了。大家看出来问题是什么了吗?


真实世界里可能是没有两个东西是完全一样的(请让我忽略量子力学里的全同粒子,我们现在在幼儿园,没有听说量子力学)。一般大家要看两个东西一样不一样,就把这两个东西比较一下。但是这两个东西不可能完全一样,所以比较的时候要忽略一些性质,比如,上面提到的“一一对应”就是忽略了苹果几乎所有属性(和集合里面的元素没有区别了)。如果我们接受了这样定义“一样”是可行的, 即用“一一对应”来定义“一样”。那么问题来了:


有两种不一样的"一样"还是一样吗?


现代数学或范畴学对这样一个基础的问题,做了深刻的解读。现代的或范畴学的观点是:


有两种不一样的"一样"就是不一样,除非有一个比另一个更自然。


比如左边的苹果一个是红的,一个是绿的;右边也是一个红的,一个绿的。一个自然的“一样”是保持颜色的“一样”。但是在没有颜色这个附加“结构”之前,我们有两种不一样的"一样",其实就是不一样。

(为那些有线性代数基础的读者加一段:这个问题看似简单,但是却是一个核心问题,在数学里面广泛出现,造成很多初学者的困惑。比如中国的不少教科书把线性代数教成了矩阵代数。很多学生一想到一个线性空间,就自动给它装上一个向量基。事实上(线性空间+给定的基)是和线性空间完全不一样的数学结构!不明白这个就无法明白一个线性空间和它的对偶空间的区别,到了微分几何,也会困惑切空间和余切空间的区别。一个有限维线性空间和它的对偶空间有无数线性同构,但是没有一个是自然的!但是一个有限维线性空间到它的对偶空间的对偶空间有一个自然的同构。)

我们注意到上文反复出现了“自然”这个词。而范畴学的起源,就是Ellenberg-Maclane试图定义什么是“自然”,由此引发了“自然变换” (natural transformation)这个概念,为了定义“自然变换”,需要引入“函子“(functor)的概念,为了定义函子,又需要引入“范畴”(category)这个概念。 本文不想走进这些概念细节,但是我们希望能够展示一下范畴学的基本精神。粗略地说:所有苹果可以看成一个“范畴”,而所有香蕉是另一个“范畴”,它们都可以放到一个更大的叫“水果”的范畴里面。


我们想说,从OO抽象出来一个“2”的概念其实是非常困难的,而且往往需要很暴力的做法。往往老师在引入“2”之前,还会为了加深理解,放两个香蕉。姑且用J来代表香蕉。于是黑板上又出现了如下公式:

J + J = JJ (4)

但是同样的问题仍然会令我们烦恼。更加令人困惑的是老师有的时候还要在走向“2”的路上做更多让我们困惑的事情,比如为了硬说这些都是“2”,还可能有这样的公式出现:

OO=JJ

问题是:不在一个“范畴”能“一样”吗?甚至一不留神,比如苹果不够用了,还可能临时还会出现下面的公式:

O + J = J + J

疯掉了,苹果和香蕉能加吗?苹果和香蕉不在一个“范畴”怎么能加呢?事实上,我们可以说一个苹果是“1”,一个香蕉也是“1”,他们都是“1”的代表,但是从这些可以作为“1”的代表中抽象出来“1”这样的概念是非常困难的。也许那些连1+1=2都听不懂的孩子不是笨,而是把握住了一些深刻的和本源的东西。

我们来看看范畴学怎么解读1+1。


范畴学的观点:万有性质

范畴学的观点就和我们最天真的看法一样,一个苹果是“1”,一个香蕉也是“1”。 它们都是“1”的代表。既然只是代表,是不是说它们都还不是“1”? 那么到底什么是“1”呢?


“1”应该反映出来所有这些“1”的不同代表所具有的“共有性质”。数学家给这个“共有性质”起了一个正式的名字叫:“万有性质”(universal property)。如何写下这些“1”的不同代表的共有性质呢?范畴学提供一种全新的视角。不要用“一个研究对象“里面”有什么东西”这样非常集合论或还原论的方式去看问题,而要以对象和其他对象的相互关系的方式来了解一个对象。这个方式其实是我们理解世界更根本的方法,比如你想了解一个未知的“存在”(如:粒子、材料等),你怎么办?你会用你熟悉的东西打进去去看看会测量出来什么?物理学家会测一个新材料的发光谱和吸收谱, 打X光进去看看X衍射;数学家会把球面扔进一个未知空间来测量、或看看能不能让一个群作用上去,等等。高能加速器的云室里面测的不是粒子的轨迹,而是粒子和其他东西相互作用的轨迹。没有相互作用,测量也无从谈起。可以十分安全地说:

这个世界上没有比相互关系或相互作用更基本的存在

既然如此,我们可以尝试用相互关系来定义什么是“1”。


我们先回顾一个概念:集合之间的映射(a map)。集合就是一堆元素的“集合”,呵呵。不过值得指出的是,空集 \emptyset 也是一个集合,就是一个没有元素的集合。那么什么是两个集合A和B之间的映射呢?比如考虑两个集合X={a,b}, Y={1,2,3}, 一个从X到Y的映射,记成

f: X\to YX \xrightarrow{f} Y

就是一个分配规则:给X中的每一个元素分配唯一一个Y中元素。比如:

  1. f(a)=1, f(b)=1 就是一个合理的映射,
  2. g(a)=2, g(b)=3 也是一个映射。但是不能给a分配两个Y中元素!
  3. 如果集合X里面没有元素(空集),等于分配规则自动定义好了,这个什么都不需要分配的分配规则就叫空映射。

有了这些准备,我们可以给出一个“1”的范畴学解读。


定义:1 就是这样一个集合,任何一个集合到它都存在且有唯一一个映射[1]。我们有一个简洁的图来记录这个定义:对任意集合X,我们有:

这里“  \exists "是指“存在”,“!”是指“唯一”[1]。另外要注意,定义中“对任意集合X”也非常重要!不是对一个特别的集合,而是所有集合!


大家看到没有,这个定义里面用到了“1”和所有集合的关系,这件事相当重要。不过第一次看到这个读者可能更关心的是,为什么这是“1”的一个合理的定义呢?我们来看看,一个苹果的集合满不满足这个定义?一个香蕉的集合呢?又或者,零个或三个香蕉呢,又或者所有中国人的集合?如果你愿意尝试,你很快会发现,零个香蕉的集合,即空集,是不行的,因为它破坏了定义中映射“存在性”条件(任何非空的集合都没有到空集的映射,因为没办法分配。)。“三个香蕉”也是不行的,因为它破坏了映射的“唯一性”。 什么集合可以呢?就是那些只有一个元素的集合,比如:一个苹果的集合、一个香蕉的集合、一个鸡蛋的集合、一个人的集合、等等,它们可以同时保证存在性和唯一性。所以这样定义的“1”是不唯一的,这个不是一个缺陷,因为我们已经看到了有很多“1”的代表。最妙的地方是,所有可能的“1”都有且仅有一种方式互相对应起来,这是由“存在性”和“唯一性”决定的,和“1”的具体内容无关[2]。就像教小朋友时,可以用一个苹果代表1,也可以用一个香蕉代表1,而且我们知道如何把它们等同起来! 你能相信吗,幼儿园虽然很努力地教“去范畴化”的数学,但教的方法是无法回避的范畴学!因为这就是它的本来面目。

而这个定义,也被称为“1”的“万有性质”(universal property)。也就是说,我们用“1”的性质来定义“1”,而不是用“1”里面有什么东西来定义“1”。 所有的数学概念都可以用它的“万有性质”来定义,我说的是“所有”,是的,你没有听错!

好极了,如果你还能跟上我,我们就再来一个。


定义:0就是这样一个集合,它到任何一个集合都存在且有唯一一个映射。即对任意集合X,我们有: 0 \xrightarrow{\exists !} X


这个留给大家做练习吧。科普还要留作业?没听说过。呵呵。不过想明白了这个习题,马上就福利了,可以立马去摧残小朋友和她们的父母啊。哈哈。


范畴学怎么解读1+1?

好了,真正的挑战或摧残来了,我们终于可以看看什么是1+1了。 和“1”一样,“1+1”也会有很多不同的代表,比如,2个苹果或2个香蕉,等等。那么“1+1”应该是什么呢?应该是所有这些代表所拥有的共性,即万有性质。下面我们就来揭示“1+1”的万有性质。我先擦擦汗。

讲1+1之前,还需要一个准备。两个连在一起的映射: X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z 是可以合成为一个从X到Z的映射,记为: X \xrightarrow{g\circ f} Z 。比如:X={1,2,3}, Y={a,b}, Z={A,B,C,D}, f(1)=f(2)=a, f(3)=b, g(a)=A, g(b)=B, 那么我们有: g\circ f (1)=g\circ f (2)=A, g\circ f (3)=B.


定义:1+1 就是这样一个集合,它自动附带两个指定的从1来的映射:

1 \xrightarrow{a} 1+1 \xleftarrow{b} 1

从而对任何附带两个从1来的映射的集合X:

1 \xrightarrow{f} X \xleftarrow{g} 1

都存在且有唯一一个映射: 1+1 \xrightarrow{h} X , 使得 h\circ a =f,   h\circ b=g .


这就是“1+1”的万有性质,也同时是它的定义。如果我们用图来记录上面1+1的定义或万有性质,那么就是下面这个被称为“交换图”的东西:

所谓图是交换的意思就是:h\circ a =f,   h\circ b=g . 这个定义为什么就是我们熟知的1+1呢? 这还真是不好解释。主要是需要解释的有点儿多,能留做习题吗? 我们不是还有很多强大的读者吗?就看你们的了。我已经被摧残的不行了,需要休息,休息一会儿。

我想指出的是:

(1)虽然我们没有规定a和b必须是什么,但是万有性质导致了a和b不能任意选。不同的a 和 b且满足万有性质的选择将被视为不同的1+1的代表!也就是说定义1+1需要有三个东西: (1+1, a, b)。

(2)满足1+1的定义的集合是不唯一的(都是代表),但是存在性和唯一性使得,它们任意两个代表之间都有唯一的一种方式一一对应起来。这一点相当的重要,但是我不是很想展开来说,可能也需要读者中的达人来解读。

(3)万有性质的另一奇妙的地方是,它不但定义了概念,还告诉你它是怎么用的,就是用来构造那个 \exists ! 的箭头!而且这是唯一的用法!这一点大概没有用过的人是很难体会的。这个集定义与应用于一身的特点也强烈证明了这是一个好的定义。

作业1: 我们到底是定义了2还是定义了“+”?

作业2:1 + 1 + 1 咋定义?

作业3:1 x 1咋定义?(提示:把定义1+1的那个图的箭头都反过来)。

作业3相当有意思,箭头都反过来就可以了?其实这就是在说乘法是加法的对偶概念。范畴学牛逼的地方是说,数学里的所有概念都是这样的!数学里的所有概念只有两种:一种叫做“极限”(比如:1 x 1),一种叫“余极限”(比如:1+1)。其他没了。呵呵。所以范畴学把数学中的所有概念都放在了一个统一的框架里面来看。


众位看官可能要纳闷,这个怎么能叫“极限”呢?极限不是一个无限的(逼近)过程吗?事实上,大家熟悉的所谓“极限”不过是用一个有无限节点的交换图,并以和1+1 或1 x 1同样的方式来定义的概念而已。比如:对任意构成如下图的实数X,我们有:

其中“1”是通常意义下的一个实数(不要理解成集合),箭头的意思就是“\leq ”(小于等于)(不是集合之间的映射!)。这个图说的是:一个序列:0.9, 0.99, 0.999, ....... 的极限是1。用范畴学的语言说就是1是图表 0.9 \to 0.99\to0.999\to.... 的余极限。

怎么看呢?X是这样的一个实数,序列 0.9, 0.99, 0.999, ....... 中的每一个数都到X都有一个箭头,意思是说:序列 0.9, 0.99, 0.999, ....... 中的每一个数都 \leq X 。而1就是这样的一个数,而且是最小的那一个,对吧?所以范畴学是自动包含你熟悉的微积分的,但是她能做更多!事实上范畴学在概念上统一了分析和代数,统一了离散和连续,1+1和传统意义上的极限没有本质的区别,不过是涉及的交换图有大有小而已。

作业4: 如果箭头的意思改成“ \geq ”,相当于上图的箭头都反过来。则在范畴学的意义下,我们得到“1”是一个图表的极限。

另外你应该还注意到范畴学中的箭头可以不是映射,可以是任意可能的关系。比如:“\leq ”,再比如:在所有中国人构成的范畴里面,我和你本没有关系,但是如果我们都追同一个女孩子,这样我们就有了情敌的关系,这也可以是范畴学中所研究的相互关系。这个例子还可以想象,可很多时候在范畴学中出现的所谓“相互关系”是千奇百怪的,甚至是超越想象力的。


范畴学、物理和计算

我想一定有人觉得快发疯了,1+1搞的这么复杂。我想强调的是,这个故事并不是“复杂”,而是1+1的本来面目。不过读者也可以反对说,“去范畴化”才是真的有用,1+1搞的这么复杂的话,没法子方便地计算了。所以这样理解1+1,就算是本来面目,怎么可能有用呢?这样定义的1+1确实有些复杂,并不实用,但这是用牛刀去杀鸡,当然你就看不到它的力量了,牛刀牛在可以通杀一切众生。


其实范畴学是研究无穷维数学结构的强大工具,在那里她的力量就能够真正地显露出来。比如在研究量子多体系统的时候,有能隙的量子多体系统的边界和内部的关系可以由下面这个万有性质来定义 [3]。

这图啥意思?啥意思不重要。重要的是,你发现没有,一个具有无穷自由度的复杂物理系统,边界和内部的关系竟然没有比1+1和1的关系更复杂!这是因为范畴学有能力把有限维的数学和无限维的数学统一在同一个框架下处理。值得一提的是,上面图表揭示的关系也同时刻画了弦论里面开弦和闭弦的对偶!这些都是无穷维数学结构之间的对偶。如果真的把对偶两边的数学结构用生成元和它们的关系写下来,会复杂的吓死人的。呵呵。


在演生论PK还原论的今天,范畴学越来越重要。这是因为范畴学就是为演生论准备的。你看看“1+1”难道不是从所有集合中演生的概念吗?同理所有数学概念都是在包含一定意义下的“所有”对象的图表中演生的对象。甚至范畴学强调要放弃还原论的观点,不要问一个集合里面的元素,而要去看映射,后者更加丰富。比如:一个集合X里面的一个元素其实就是1到X的一个映射!这样的观点难道不就是加速器的原理吗?想知道粒子里面有什么东西,就拿其他东西,甚至是“它”自己,去轰“它”。我想微积分对还原论的物理有多重要,范畴学对演生论的物理就有多重要。范畴学和物理学家理解大自然的基本方法和原理是完全相合的,她们都强调:

没有比相互关系或相互作用更基本的存在,其他都是演生的。

范畴学和物理的关系当然值得大书特书,很多最前沿的论文都在不断地讲述这个关系。这里我们点到为止,虽意犹未尽,只盼能抛砖引玉。


如果说范畴学在数学里很基本,那么在物理或其他学科里面是不是也应该很基本?但是现实是,在物理中,用的上范畴学的可能只是很少的几个非常小众的课题。这是为什么呢?这是暂时的还是长久的?范畴学会带来描述物理学的新的微积分吗?范畴学对未来的计算机科学会有何影响?图灵计算用bit(0和1),量子计算用qubit(2维线性空间),而范畴化的道路是,从数字,到线性空间,到1阶范畴,到2阶范畴,到高阶范畴,那么我们是不是可以畅想未来会有1阶范畴计算,2阶范畴计算?希望将来我们有机会来解读这些问题。


你们喜欢范畴学吗?欢迎大家来到范畴学的奇妙世界。


附录:文章结尾我们来谈谈学习范畴学的过程中常见的困惑和误解。


很多人(包括部分数学家)都抱怨范畴学抽象。我希望前面的讨论能够帮助大家意识到,我们的思考天生就是范畴学的,而引入“1”和“2”这样的抽象概念反而是“去范畴化”了。我们的数学教育从一开始就是“去范畴化”,而通常的微积分可以看作是“去范畴化”的经典之作。最终的结果是,我们大多数人第一次学“范畴学”都会觉得好“抽象”,呵呵。 有可能是因为“去范畴化”的数学教育让我们失去了童真。我记得有一次在做数学报告,有听众抱怨范畴学太抽象了。我说:抽象是一个没有意义的概念,不过你所谓的不抽象的东西是啥?他回答说:比如上同调。我的天,上同调不抽象?好吧,我耐心地问,为什么你觉得上同调不抽象?他说:因为可以算啊。我说:原来可以算就是不抽象啊,这样的话,范畴学也不抽象,因为它也可以算。但是这也不重要,因为这个说法本身很荒唐,如果上同调是可以算的话,总没有1+1=2更好算吧?那么请问什么是“1”?平时我们嘴上说的所谓“不抽象”或“抽象”,其实就是“熟悉”或“不熟悉”。范畴学之所以显得“抽象”就是因为我们在“去范畴化”的路上走了很远了,想要回归就没有那么容易,放下包袱是很难的。


我记得有一次和物理学家Michael Levin吃午饭,他说他花不少时间看范畴学,但是总觉得范畴学空泛的好像什么都没有。他的感觉没错,当然也不只他一个人这样抱怨。事实上,范畴学是和集合论一样底层的东西。就象你去看集合论一样,除了一些形式的定义,仿佛什么都没有。对物理学家来讲,看集合论几乎没有任何用处,真正有用的是微积分和线性代数。所以也只有当你看到了范畴学自己的“微积分”和“线性代数”的时候,你才能理解它的强大。我认为,Grothendieck的代数几何就可以粗略地看成是一个新的“微积分”,而张量范畴理论(tensor category theory)可以看成是一个新的“线性代数”。 范畴学里面的“微积分”(或“线性代数”)都不是唯一的,而是千变万化的。 对物理学最有用的“微积分”和“线性代数”可能还没有诞生。与集合论不同的是,对物理学家来说集合论可以完全地忽略,直接跳到微积分和线性代数上,因为集合论的语言和基础被函数论的语言覆盖了。但是对范畴学来讲,想要跳过她的基础语言:范畴、函子、自然变换、Yoneda引理,直接学习她的“微积分”和“线性代数”是不可能的。遗憾的是,到目前为止,还没有一个适合物理学家读的范畴学的书。


还有一种误解是:范畴学已经建立好了,学好了一本范畴学的数学书,在物理上的应用可能就够了。如果你抱着这样的心态,那你注定要失望了。首先,把任何(不论她有多么优美)数学套用到物理上的想法都是缘木求鱼的做法。只有从物理实验或物理图像出发而发现的数学才是对物理有意义的,如果碰巧这个数学已经被数学家发现,那也只是偶然情况而已。通向未知之门大多是没有现成的钥匙的。物理学真正需要的范畴学可能还没有写下来,需要我们去一边发展物理,一边发展数学。在这种情况里面,新的物理和新的数学没有区别,他们都是大自然的隐藏结构。现在的范畴学还在发展的初级阶段, 微积分可以发展几百年的话,范畴学大概也需要几百年。而我这些年的实践告诉我,物理能给我们带来的新的、超越数学家想象力的范畴学才是真的波澜壮阔。


致谢:感谢德国哥廷根大学的朱晨畅老师、清华大学高等研究院的汪忠老师和丘成桐数学中心的田垠老师、南科大量子科学与工程研究院的吴咏时老师和郑浩老师、麻省理工学院的文小刚老师、中科院物理所的曹则贤老师和斯坦福大学的祁晓亮老师提出的很多宝贵意见。感谢返朴编辑梁金费心修改了作者的很多语法错误,感谢他们为本文配上了精美的插图。


[1]这里面我们还是用到了“唯一”这个概念,好像是循环定义“1”的意思。其实我们可以从技术上回避它,比如:我们可以说万有性质中的(让图表交换的)映射构成的集合存在到集合{O}的双射。我们这里并不是想探讨数学的基础,而是展现一种对1和1+1的全新解读。不过从万有性质里面不断地用“存在”和“唯一”可以看出,在自然哲学的意义下,“唯一”有可能是和“存在”同等基本的概念。

[2]“存在”和“唯一”导致了,任何两个“1”(或任意其他概念)的代表都有且唯一的方式对应起来。这一点异常重要,希望有达人来解读。

[3] Boundary-bulk relation in topological orders, Liang Kong, Xiao-Gang Wen, Hao Zheng, Nucl. Phys. B 922 (2017), 62-76 [arXiv:1702.00673]

编辑于 2019-11-30

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