读量子书，吃量子饭，做量子人（4）
单粒子波函数空间（1）
前面我们已经简单介绍了量子力学中的力学量，对算符也有了一个初步的了解。那么，接下来我们重新从单粒子的波函数入手，在抽象的矢量空间角度审视这些问题。这种更深入的角度，对于之后讲解态和力学量的表象有着重要意义，也可以使整个知识体系更加完整。
对于粒子的波函数，前面的假定已经提到了统计解释。整个空间找到粒子的概率为1 ，故有：
\def\ip#1#2#3{\int #1^* #2 \mathrm{d}#3} \iiint|\psi(r,t)|^2\mathrm{d}^3r=1\tag{1}
以上是坐标空间的结果，但是这暗示着我们研究平方可积函数的集合，也就是使上述积分收敛的函数。我们把这个函数集合叫 L^2 ，它的结构就是希尔伯特空间的结构。
这里给出一些线性代数中空间的简述：线性完备内积空间称作希尔伯特空间；线性完备赋范空间称作巴拿赫空间；有限维线性内积空间称作欧几里得空间。最后一个大家都很熟悉，对于前两个，不熟悉的同学可以查阅一下相关的资料。这个概念一定要有印象，因为希尔伯特空间是描述量子力学的基本工具。
我们之前讲过波函数的有三条性质约束：单值、有限、连续。这使得波函数构成的集合相比于 L^2 小得多。这些波函数构成的集合 \mathfrak{F} 称为波函数空间，是L^2的子空间。
波函数空间的结构
我们来研究一下这个空间的结构：
首先，若 \psi_1(r)\in\mathfrak F,\psi_2(r)\in\mathfrak F ，有：
\psi(r)=c_1\psi_1+c_2\psi_2\in\mathfrak F\tag{2}
我们展开上面这个东西的模方很容易证明其可积性。这些性质是矢量空间的性质，可以证明这玩意儿有矢量空间的全部性质。\mathfrak{F}是矢量空间。
我们可以定义空间中的标量积：
(\varphi,\psi)=\iiint\varphi*(\vec r)\psi(\vec r)\mathrm{d}^3r\tag{3}
之后为了简化积分符号只写一个，矢量符号也略去。这个积就是之前讲过的函数内积，之前几讲提到的性质也成立。
一对函数的内积与其第二个因子的关系是线性的，与第一个因子的关系是反线性的，如果内积为零就是正交的。当且仅当函数为零时自己和自己内积是零，除此之外内积是一个正实数，\mathfrak{F}空间的模定义为 \sqrt{(\psi,\psi)} 。这玩意儿有个著名的施瓦茨（跟我读Xi Wa Zi）不等式，我们看看袜子是怎么洗的：
|(\psi_1,\psi_2)|\leq\sqrt{(\psi_1,\psi_1)}\cdot\sqrt{(\psi_2,\psi_2)}\tag 4
两者成正比时取等。
波函数空间的离散正交归一基
这一节我们讨论 \mathfrak F 的离散正交归一基。设有 \mathfrak F 空间的一个可列的函数集合，这个集合可以用 n 个离散的指标标记：u_1(r)\in\mathfrak F,...u_i(r)\in\mathfrak F,... 如果：
\def\ip#1#2#3{\int #1^* #2 \mathrm{d}#3} (u_i,u_j)=\ip{u_i}{u_j}{^3r}=\delta_{ij}\tag{5}
（式中右端的是克罗内克符号，两个指标相等时值为1，否则为零）则集合 \{u_i(r)\} 是正交归一的。如果空间中的每一个函数都可以唯一地用这个集合展开：
\psi(r)=\sum_ic_iu_i(r)\tag{6}
则这个集合构成一个基。
我们来看波函数在基中的分量：
(u_j,\psi)=(u_j,\sum_ic_iu_i)=\sum_i c_i(u_j,u_i)=\sum_ic_i\delta_{ij}=c_j\tag{7}
\def\ip#1#2#3{\int #1^* #2 \mathrm{d}#3} c_i=(u_i,\psi)=\ip {u_i}\psi {^3r}\tag{8}
c_i 是函数在基上的一个分量，我们回想一下向量在欧式空间里的分量也可以这样表示。基一旦给定，给出函数 \psi 和给出它在所有基上的分量是等价的。 c_i 的集合表示基中的 \psi(r) 。
我们这时候进一步研究将内积表现为分量的函数。我们考虑两个波函数：
\begin{align} &\varphi(r)=\sum_ib_iu_i(r)\\ &\psi(r)=\sum_jc_ju_j(r) \end{align}\tag 9
根据定义计算内积：
(\varphi,\psi)=\sum_{ij}b_i^*c_j(u_i,u_j)=\sum_{ij}b_i^*c_j\delta_{ij}\tag{10}
也就是说：
(\varphi,\psi)=\sum_ib_i^*c_i\tag{11}
特别地：
(\psi,\psi)=\sum_i|c_i|^2\tag{12}
两个波函数的内积或一个波函数的模方可以简单地用分量表示。
最后我们探讨一下封闭性关系式。（5）表明基集合中的每一个函数都已经正交归一化为1，这些函数两两正交。我们现在建立另一个表明这个集合构成一个基的封闭性关系式。
我们将（8）代回（5）：
\def\ip#1#2#3{\int #1^* #2 \mathrm{d}#3} \begin{align} \psi(r)&=\sum_ic_iu_i(r)\\ &=\sum_i[\int u_i^*(r')\psi(r')\mathrm{d}^3r']u_i(r)\\ &=\int\mathrm{d}^3r'\psi(r')[\sum_iu_i(r)u_i^*(r')] \end{align}\tag{13}
可见 \sum_iu_i(r)u_i^*(r') 应为 r,r' 的这样一个函数 F(r,r') ，使得对于每个 \psi (r) 都有：
\psi(r)=\int\mathrm{d}^3r'\psi(r')F(r,r')\tag{14}
这个方程正是 \delta 函数的性质。（请区分\delta 函数与克罗内克符号，不要搞混）
于是有：
\sum_iu_i(r)u_i^*(r')=\delta(r-r')\tag{15}
这是封闭性关系式。反之如果一个正交归一集合满足封闭性关系式，则此集合构成一个基。这是因为我们可以将任意函数写作如下的样子：
\psi(r)=\int\psi(r')\delta(r-r')\mathrm{d}^3r'\tag{16}
这次就谈到这里，下次我们会引入不属于\mathfrak F的基，进一步讨论问题。
很多小伙伴忘了啥叫 \delta 函数了，这可不行，量子力学里面太重要了。我们来不点名批评，顺便带大家复习一下。
函数定义：
\bbox[#FFF,5px,border:2px solid black]{ \begin{align} &\delta(x-x_0)=\begin{cases}&0,(x-x_0\neq0)\\&\infty,(x-x_0)=0\end{cases}\\ &\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)\mathrm{d}x=1\\ \end{align} }
三维的函数定义类推很简单，变量改成三维，积分变成全空间。所以下面直接给一维的性质就好。
\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}
\delta(x)=\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\sin\alpha x}{\pi x}
\delta(x)=\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\sin^2\alpha x}{\pi \alpha x^2}
\delta(x)=\lim_{\alpha\to\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\alpha}^{\alpha}\mathrm{e}^{ikx}\mathrm{d}k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\mathrm{e}^{ikx}\mathrm{d}k
\delta(x)=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac 1\pi\frac{\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2}
对于阶梯函数：
H(x)=\begin{cases}&1,x>0\\&0,x<0\\\end{cases}
\def \d #1#2{\frac{\mathrm{d}#1}{\mathrm{d}#2}} \d{H(x)}x=\delta(x)
这个函数还有这样的性质：
\delta(x)=\delta(-x)
这是偶函数。
\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)
x\delta(x)=0
\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)\mathrm{d}x=f(a)
上面这个式子很重要，表示函数的提取作用。
\int_{-\infty}^\infty \delta(x-a)\delta(x-b)\mathrm{d}x=\delta(a-b)
关于复合函数：
设 f(x)=0 只有单根 x_i,i=1,2,3... 但是根处函数导数不为零
\delta[f(x)]=\sum_i\frac{\delta(x-x_i)}{|f'(x_i)|}=\sum_i\frac{\delta(x-x_i)}{|f'(x)|}
如果函数满足 \def \d #1#2{\frac{\mathrm{d}#1}{\mathrm{d}#2}} \d{^nf(x)}{x^n} 连续，则
\def \d #1#2{\frac{\mathrm{d}#1}{\mathrm{d}#2}} \def \p #1#2{\frac{\partial#1}{\partial#2}} \int_{-\infty}^\infty[\p{^n}{x'^n}\delta(x'-x)]f(x)\mathrm{d}x'=(-1)^n\d{^n}{x^n}f(x)
\delta 函数可以用任一一组正交归一完备的函数组来构成，比如：
\delta(x'-x)=\sum_{n=0}^\infty\frac 1 {\sqrt\pi2^nn!}\mathrm{e}^{-\frac 12(x^2+x'^2)}H_n(x')H_n(x)
H_n 是厄米多项式。
好了，这次的内容就到这里，下期再见！
