这篇文章也许是最清晰简单的数学思想汇总

2月14日补充：收藏比赞多一个数量级……大家看完如果觉得还可以，麻烦点个赞~点赞是对我最好的肯定 : )

3月4日补充：数学思维和数学思想其实还有所不同。最近读了一些书，对于数学思维，想给出一个更好的定义，具体可参见这篇回答：

另外，这里有一个LIVE，用一个小时时间详细告诉大家，什么是数学思维，数学思维如何在现实生活中应用，欢迎移步一听

……正文……

在这篇文章中，我将简述最常见也最常用的数学思想。

这些思想不仅在初高中数学学习中占据核心灵魂地位，对于每个人的日常生活和工作，都有不少启发性。这正是数学思想的魅力。

提到数学，我们一下子能想到什么？方程，函数，数列，椭圆曲线，集合……其实，如果你以后不用这些知识，完全不会影响你的工作和生活。对于每个学习数学的同学来说，这些知识，最大的作用其实用来培养逻辑思维的工具。

而逻辑思维，只能靠我们用自己的头脑去训练才能得到。对于这些复杂而抽象的知识，如果只是似懂非懂的死记硬背，无异于拒绝思考。

教育的意义，是当把所学的东西忘掉后，剩下的那些东西。

我们需要的并不是通过直觉，比别人早一步找出答案的能力，而是无论遇到多么困难的问题，都能够一步一步以逻辑思想找到正确答案的能力。

大多数学思维，并没有太多别出心裁的思考方式，我相信每个人日常生活中都或多或少的在使用。不过，千万别觉得如此一来数学学习就可有可无，恰恰因为每个人都在不自觉的使用这些数学思维，才让数学学习更具意义。因为了解和意识到数学思维的意义，能够让你在未来遇到任何问题时，都能游刃有余、切实地理出解决问题的头绪。能够有意识的运用数学思维解决问题，还必然能够开拓出他人眼中的新思路，同时，你的解答也会更加令人信服。

1. 整理

我首先要提的思维方式叫做整理。这种思维方式如此普遍，以至于大部分人其实并不把它看作是一种数学思维方法。

那么数学思维方式中的整理到底意味着什么，又要如何开展呢？

我们简单看一下下面的图，这就是整理：

那么，整理的目的是什么？

请各位注意，整理的目的就是整理思想的精髓：

整理的目的不是单纯把东西收拾整齐，而是获得新的信息。

我们可以稍微思考一下各自的妈妈，她们擅长各种整理，能将你的二维展开的房间三维化。

在整理房间这件事情上，任何一个妈妈都比我强得多，但也许她们从来没有仔细想过，这种整理除了能够收缩空间，还有什么意义？

你会发现，整理后的房间：

• 你可以更快的找到某样东西（当然，如果不是你亲手整理的则不然）
• 可以一目了然的知道你都有什么“财产”
• 如果有一件新物品，你知道应该放到哪里
• 你可以快速在某个类物品中找到你最想使用的
• ……

那么事实上，数学上的整理思维其实也不外如此。

数学思维的整理我们不妨这样定义：通过明确规则加以分类，使用算数方法等原则加以整理、检索、检查。

通过数学方式的整理，可以把信息归纳得井然有序，从而获得“新的信息”，这个新信息就是数学式整理的目的和意义。

根据规则不同，整理的结果会有很大差异。

举一个例子。比如我想整理一下茶叶的知识。很显然，我可以根据茶叶的种类做归纳。比如红茶、绿茶、乌龙茶、白茶、黑茶。如果我喜欢喝茶，拿到一包茶叶，我只要知道它是属于什么茶，我就可以大概清楚自己是不是喜欢它。

你看，这就是整理所得到的新信息，根据茶叶种类和我的喜好，快速选出我想要的茶来。

不过，我还可以根据年份和时间对茶叶进行归纳。

比如今年的新茶，去年的茶，十年前的老茶等等。如果拿到一包茶叶，你告诉我是今年的新茶，那么是否可以选择出是否是我想要的呢？不行，因为我不一定想要今年的新普洱，但如果是今年的新绿茶，可能还符合我的口味。所以，如果根据年份信息来整理，得到的新知识并非那么有效。

所以，你应该又发现了“整理思想”的一个重要秘密——不同规则下的整理，会产生不同的“新信息”。

虽然茶叶根据年份整理并不是一个特别好的主意，但如果是白酒或者红酒，年份也许就是一个很好的整理方式。

如何整理，选择什么规则作为整理的规则是很重要的，因为规则决定最后出产的新的信息是什么。

2. 函数的思想

函数思想的核心，就是定量变量之间的联系。或者说，函数思想研究的是规律。研究规律可是很了不得的，换在网络小说中，那就是法则强者。

其实，函数思想正是“联系和变化”这种古老的哲学思想的数学化描述。它最奇妙也最令人赞叹的一点，就是它一直在思考的是不同数量之间的关联，试图用有限长度的公示去准确地描述无限的数量变化。然后，通过研究函数公式的性质，可以方便地研究事物数量的变化。

数学家们试图将世间万事万物都用函数来进行描述，这个梦想很伟大，路途很遥远。

在学习和做题时，挖掘隐含条件，利用函数性质总是屡试不爽。函数思想在学校课堂中的应用当然远不止这些，化学方程式的配平、物理学中各种运动的计算、管理中的运筹学等等

3. 分类讨论的思想

分类讨论思想的核心，就是当某个可变量发生变化时，这个问题的结果可能会发生根本性的不同。

这里注意“根本性”，这也是分类讨论思想和函数思想的差异所在。

让我们思考一下垃圾分类。将垃圾分类之后，最大的好处是可以方便下一步处理，极大降低处理成本！比如哪些垃圾可以用来发电，哪些垃圾可以进行回收，通过前期分类，后续的处理环节将大大简化。

所以，分类讨论的思想，实际上是对问题“增加信息”。

但这种增加信息有一个要点，就是“不遗漏，不重复”。通过这种严格的分类，可以提取出新的信息来。这就回到了我们开头所说的“整理的数学思想”。在整理的过程中，其实我们一直在有意无意的使用“分类讨论”的思想。

比如通过类别整理茶叶时，我们试图穷举所有茶叶的类别。但任意新的一种茶叶，是否可以放到“红茶、绿茶、乌龙茶、白茶、黑茶”这样一个类别中呢？比如花茶是属于什么茶？那么你看，根据类别来分类有一定困难，我们其实可以用另一种方式分类：比如“全发酵茶，半发酵茶，未发酵茶”这个分类方式。你会发现，这个方式可以清楚明白的把任意种茶叶进行分类，因为所有茶叶，要么发酵了（全发酵或者半发酵），要么没发酵，不存在“薛定谔的茶”。

当类别不同时，茶叶的性质可能会有根本性的差异，这不是用函数的变化思想可以容易描述的。（事实上，函数确实也可以描述，用分段函数即可。）

但是通过分类，我们得到了茶叶的另一个性质——发酵程度。

这个性质对于我们进行其他分析是有很大好处的。我们可以单独讨论全发酵茶的性质，比如全发酵茶的好喝程度和时间的关系（全发酵茶的好喝程度和时间可以看成正相关关系），而未发酵茶的好喝程度和时间则是负相关。

4. 转化的思想

将未知的，复杂的，不熟悉的事物转化为已知的，熟悉的东西。在数学的学习中，我们接触过换元法，三角换元，几何变换等等思想，这些其实说到底都是转化的思想。

将复杂的简单化，将一般的特殊化，等价转化都是数学中常用的思路，有时甚至是考试时的无往不利之秘籍。

转化思想某种程度上可以理解为“抽象化”。因为我们在利用“转化思想”的时候，都不自觉地去“抽象”这个事物的核心内核。我们从小就知道数学是一门“抽象”学科。而“转化思想”正是抽象的来源之一。

5. 具体化

转化思想其实不仅包含抽象化，也包含具体化。在转化思想中，有一种小技巧叫做“将一般的特殊化”，其实就是“具体化思想”。

之所以这里还要单独聊聊具体化，就是因为具体化的思想应用范畴太广，甚至有些时候比转化思想本身还要有用。

数学解题中有一个特殊的技巧，叫做”赋极限值“。这个技巧用来解答一些填空选择题目时非常高效，甚至高效到你的数学老师都后悔讲过那么多知识和解法。

具体来说，在一些题目中，我们常常用”0，1，-1，无穷大“这几个特殊值直接带入求解的方程或者函数，观察结果。这个结果是用来排除错误答案的。基本这几个值一代入，错误答案就都被排除掉了。

6. 逆向思维

逆向思维在数学中的直接应用就是“对偶与反证”。

反证法是通过断定”与论题相矛盾的判断“的真实性，来间接证明论题的“错误性”。当然，这个过程你也可以反着来（矛盾论断虚假则论题正确）。在数学中，当论题证明论证困难时，反证法常常有奇效。

我经常听人说要“逆向思维”，但真正想要做好逆向思维，一定是具备数学逻辑思想才行的。逆向思维的要点，就是找到和原命题完全相反的命题，并且对这个命题进行证明。要找到这个完全相反的命题需要用集合的思想，或者是准确的逻辑。

比如谷歌有一道面试题：如果某个观察者在一条马路边，30分钟内看到有车经过的概率是95%，那么10分钟内看到有车经过的概率是多少？

如果你回答（95/3）%，那很遗憾，你可能和谷歌失之交臂。

你要知道，看到有车经过，可能是一辆车也可能是很多辆车。

这道题目最好的解法其实是，逆向思考，既然30分钟内看到有车经过的概率是95%，那么30分钟内一辆车都看不到的概率是5%。而这个命题又等价为（10分钟内一辆车看不到的概率）*（10分钟内一辆车看不到的概率）*（10分钟内一辆车看不到的概率）。

这样，5%开三次方就得到10分钟一辆车也看不到的概率，那么10分钟内看到一辆车的概率就不难得出了。最终答案是63%左右。

另一个很棒的例子是：每个人日常整理都会面临一个问题，这个东西我觉得没用，又不知道该不该扔掉。这个难题有一个很有启发性的解决方案，是“日本收纳女王”的Marie Kondo 提出的，她写过一本《改变人生的整理魔法》的畅销书。她解决这个问题的方法是：“我们应该选择我们想要留下的东西，而不是想我们该扔掉哪些东西。”这就是逆向思维的运用。

换言之，那些在你生活中，不能让你感到“心动、快乐”的物品都应该扔掉。这种思维的转变使得你可以更简单、彻底地进行收纳和整理，因为你想的是自己想要保留哪些东西，而不是想要丢弃哪些东西。

数学思想的妙用，不仅在数学本身，而是指引你的生活工作甚至整个人生。在学校学了十几年数学，真正的意义就在于这些思想，将其内化为自身的思维方式，将是学习数学最大的意义。